Les configurations du plan
Le théorème
de Pythagore s’applique à un triangle rectangle ; le théorème de Thalès, à
une figure qui comprend des droites parallèles coupées par deux sécantes. Pour
conduire une démonstration dans un problème de géométrie plane, il faut savoir
faire le lien entre une figure type et les propriétés qui lui sont associées.
1. Quelles propriétés peut-on utiliser
dans un triangle rectangle ?
Quand on
veut mettre en relation les longueurs des côtés d’un triangle rectangle, on
utilise le théorème de Pythagore qui s’énonce ainsi : dans un
triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme
des carrés des longueurs des côtés de l’angle droit.
Par exemple,
dans le triangle ABC rectangle en A, on a : .
Réciproquement,
si on veut montrer qu’un triangle ABC est rectangle en A, il suffit de
montrer la relation sur les longueurs des côtés : .
Quand on
veut mettre en relation les angles et les longueurs des côtés d’un triangle
rectangle, on a recours aux formules de trigonométrie :
Il faut
aussi connaître la relation .
Voici une
dernière propriété à laquelle il faut penser quand on a affaire à un triangle
rectangle inscrit dans un cercle :
Dans un
triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de
l’hypoténuse.
Réciproquement,
si on veut montrer qu’un triangle est rectangle, il suffit de montrer qu’il
s’inscrit dans un demi-cercle.
2. Quelles propriétés peut-on utiliser
lorsque la figure comprend deux droites parallèles coupées par une
sécante ?
Sur la
figure ci-dessous, les droites d et d’ déterminent avec la
sécante :
·
des couples d’angles correspondants, qui sont
placés de la même façon par rapport aux droites, par exemple le couple d’angles
marqués en bleu ;
·
des couples d’angles alternes internes, qui
sont placés de part et d’autre de la sécante et situés entre les parallèles,
par exemple le couple d’angles marqués en orange ;
·
des couples d’angles alternes externes, qui
sont placés de part et d’autre de la sécante et à l’extérieur des parallèles,
par exemple le couple d’angles marqués en vert.
Les
droites d et d’ étant parallèles, les angles de
chacun de ces couples sont égaux entre eux. Ainsi les angles
correspondants marqués en bleu ont pour même valeur ;
les angles alternes internes marqués en orange ont pour même valeur
;
les angles alternes externes marqués en vert ont pour même valeur
.
Réciproquement, si deux
droites d et d’ et une sécante déterminent
des angles correspondants ou des angles alternes internes ou des angles
alternes externes qui sont égaux, alors les droites d et d’
sont parallèles.
3. Quelles propriétés peut-on utiliser
lorsque la figure comprend deux droites parallèles coupées par deux droites
sécantes ?
Voici deux
figures types dans lesquelles on peut appliquer le théorème de Thalès énoncé
ci-dessous.
Soit d
et d’ deux droites sécantes en A. On suppose que B et M sont deux points
de d distincts de A et que C et N sont deux points de d’
distincts de A.
Si les
droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors .
Réciproquement, si les
points A, M, B sont alignés dans le même ordre que les points A, N, C et si ,
alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
4. Quelle propriété peut-on utiliser
lorsque la figure comprend des angles inscrits dans un cercle ?
Sur la
figure ci-dessous, les angles ,
et
sont
des angles inscrits dans le cercle de centre O car leur sommet est sur le
cercle et leurs côtés coupent le cercle. Ils interceptent les arcs de
cercle AB, passant par J pour les angles
et
et
passant par I pour l’angle
.
L’angle
est
appelé angle au centre.
On retiendra
la propriété suivante : des angles inscrits dans le même cercle qui interceptent
le même arc sont égaux, sur le dessin ce sont les angles et
.
De plus, leur mesure est la moitié de la mesure de l’angle au centre qui
intercepte le même arc, sur le dessin, l’angle
.
Mais attention, les angles
et
n’ont
pas la même mesure (les deux angles n’interceptent pas le même arc AB).
À retenir
absolument
Le théorème
de Pythagore énonce que, dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de
l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l’angle
droit.
Des droites
parallèles déterminent avec une sécante des angles correspondants égaux, des
angles alternes internes égaux et des angles alternes externes égaux.
D’après le
théorème de Thalès, si d et d’ sont deux droites sécantes
en A, avec B et M deux points de d distincts de A
et C et N, deux points de d’ distincts de A, et si
les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors .
Des angles
inscrits dans le même cercle qui interceptent le même arc sont égaux. De plus
leur mesure est la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le
même arc.